01信号处理简介
信号处理指对信号进行加工或变换，其目的是为了消除原始信号中的冗余成分、滤除混杂的噪声或干扰以及将信号分解成易于分析和识别的形式便于信号的二次开发。20世纪80年代以来，得益于高速数字计算机的快速发展与普及，信号处理技术在遥感、探测、测量、医学、语音识别等诸多领域得到了广泛的应用。本文将从最基本的单位斜变信号、单位阶跃信号及单位冲激信号开始，逐步引出信号分解与卷积积分的相关内容。
02三种典型信号
单位斜变信号、单位阶跃信号以及单位冲激信号是信号理论中三种重要的典型信号，因为这些信号本身具有跳变或导数、积分不连续的特征，故也称这些信号为奇异信号。其中，单位斜变信号的函数及图像如图1所示：
由图1易知，单位斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增长的信号。注意，本文中的三种典型信号其函数表达式及函数图像均未考虑平移特性，读者可自行将各信号于横轴上进行平移操作。如果对单位斜变信号求导，则得到如图2所示的单位阶跃信号：
在图2中，假定u(0)=1/2。分析可知，经微分运算后的信号会突出显示其突变部分，即：如果原始信号代表一幅黑白图像，那么经微分运算后的图像将使其本身的边缘轮廓更加突出，这是由于图像边缘轮廓处的像素突变现象引起的。
同理，对单位阶跃信号进行微分运算，其运算过程如图3所示，得到的单位冲激信号如图4所示：
注意，由图3易知单位阶跃信号的微分结果为t=0处的导数值等于正无穷大且其余处导数值为0。但是为了方便研究，我们令t=0处的导数值等于1且其余各处为0。如此一来，便得到了图4所示的单位冲激信号，由于该信号只在一处地方的信号值等于1、其余处为0，故该信号的积分亦等于1.当然了，单位冲激信号还可以通过阶跃信号-矩形脉冲信号-矩形脉冲信号取极限的推导方式得出其表达式，这里不再累述。
03基于冲激信号的信号分解
冲激信号实际上可以看作是一个没有宽度、只有高度的信号，因此，任意一个原始信号都可以用有限个冲激信号进行逼近，该逼近过程如图5所示：
又因为冲激信号的积分等于1的性质，故基于冲激信号的信号分解推导过程如图6所示：
前已述及，阶跃信号可以处理成矩形脉冲信号，而矩形脉冲信号取极限即得冲激信号。因此，基于冲激信号的信号分解过程如同一个点从原始信号的函数图像上从头到尾移动的过程。
04卷积积分
由冲激信号的性质可知，任意信号可以由有限个冲激信号共同表示。因此，若要求得原始信号对于整个系统所产生的响应，则可以利用冲激信号分解的方式间接求出，其过程如图7所示：
其中，f表示施加在系统上的激励信号，h表示信号产生的响应，r(t)表示t时刻系统的总响应，该积分运算称为卷积积分。
综上所述，卷积是信号处理中的一个基本概念，是学习后续内容傅里叶变换、小波变换、数字图像处理以及机器学习等课程的充要条件。本文从单位斜变信号出发最终得出卷积积分的表达式及物理意义，具有一定的参考价值，希望读者细细品读。
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